14.1 INTRODUCCIÓN
Teorema de límite inferior (teorema estático)• Campo tensional en equilibrio con acciones exteriores
• Respeta ecuación constitutiva
Reacciones menores o iguales a la de falla Teorema de límite superior (teorema cinemático)
• Mecanismo con trabajo igual a energía disipada
• Respeta ecuación constitutiva
Reacciones mayores o iguales a las de falla
14.2 TEOREMA DEL LÍMITE INFERIOR (TLI) o TEOREMA ESTÁTICO:
Una carga externa calculada a partir de una distribución de esfuerzos internos adoptada, que cumple las condiciones:- Estar en equilibrio con la carga aplicada
- No superar en ningún punto el límite plástico.
Es siempre MENOR o igual que la verdadera carga de colapso. Por lo tanto es “SEGURA“.
OBS: Para estar en equilibrio con la carga externa, solamente debe verificarse:
∂2Mx / ∂x2 + ∂2My / ∂y2 + 2 ∂2 Mxy / ∂x ∂x = -q
Observar que las infinitas soluciones posibles incluyen a la solución de la teoría elástica.
El TLI implica encontrar un esquema de Esfuerzos Internos (Momento, Corte, etc) que simplemente cumpla las ecuaciones de equilibrio interno.
En el caso de las placas planas, la ecuación diferencial de equilibrio es la que se muestra arriba.
CUALQUIER juego de funciones MX(x, y), My(x,y), Mxy(x,y) que cumplan la ecuación diferencial, siempre que en ningún punto (x,y) se superen los valores de MPlástico, cumple con el TLI.
Como se tiene tres funciones incógnita, y una sola ecuación diferencial, se deduce inmediatamente que existen infinitas soluciones posibles. Entre todas ellas se encuentra la solución elástica, como un caso particular.
IMPORTANTE: Los resultados obtenidos mediante la aplicación de este Teorema son SEGUROS, porque predicen que la estructura colapsa con una carga que es siempre menor, o a lo sumo igual, a la verdadera carga de colapso.
Despreciando los Mxy:
∂2Mx / ∂x2 + ∂2My / ∂y2 = -q ( 1 )
Ejemplo: Placa cuadrada de lado L, se adopta:
My=0 ; Mx = -4 Mo/L2 *x(L-x).
siendo Mo: Momento máximo en el centro de la placa, asumido igual al momento último (para cumplir estrictamente la segunda condición)
Esta función cumple (1) siempre que sea qu = 8Mo/L2
Observar que la solución elástica daría (OJO: para el caso de placas sin torsión):
qu = 13.1 Mo/L2
Por ejemplo, si se tiene una placa cuadrada de lados Lx=Ly=L, se puede proponer la función My de la figura, y encontrar una de las infinitas soluciones posibles, siempre que se dimensione a la placa para que su Momento Plástico sea mayor o igual al valor máximo:
Mpl ≥ Mo
Otra alternativa sería repartir “mitad y mitad” la solución entre los momentos Mx y My, haciendo por ejemplo (y siendo siempre Mxy=0):
Mx = -0.50 Mo/L2 x(L-x)
My = -0.50 Mo/L2 y(L-y)
Funciones que cumplen la ED de equilibrio, siempre que sea, una vez más:
q = 8 Mo / L2
14.3 TEOREMA DEL LÍMITE SUPERIOR (TLS) o TEOREMA CINEMÁTICO.
Una carga externa calculada a partir de un mecanismo cinemático adoptado (compatible con los vÍnculos) que cumple la condición:
Estar en equilibrio con la carga aplicada Es siempre MAYOR o igual que la verdadera carga de colapso. Por lo tanto es “INSEGURA“.
El TLS involucra el planteo de un MECANISMO DE COLAPSO que sea posible, es decir, que sea cinemáticamente compatible con los vínculos de la estructura.
La única condición que se aplica en este caso es que los esfuerzos internos estén en equilibrio con las cargas externas.
Este Teorema se utilizará en lo que resta del desarrollo del tema, por lo que no se da en este momento ningún ejemplo como en el caso del TLI.
IMPORTANTE: Los resultados obtenidos mediante la aplicación de este Teorema son INSEGUROS, porque predicen que la estructura colapsa con una carga que es siempre mayor, o a lo sumo igual, a la verdadera carga de colapso
14.4 TEOREMA DE UNICIDAD
Una carga externa calculada a partir de a partir de un mecanismo cinemático adoptado (compatible con los vÍnculos), que cumple las condiciones:- Estar en equilibrio con la carga aplicada.
- No superar en ningún punto el límite plástico.
Es IGUAL a la verdadera carga de colapso.
En resumen: cuando las qu obtenidas por el TLS y el TLI coinciden, se tiene la verdadera carga de colapso:
qultLS ≥ q ult Real ≥ qultLI
Este Teorema de Unicidad es una especie de corolario evidente a partir de los dos teoremas anteriores. Resulta evidente que, si el Teorema Estático o TLI aproxima inferiormente a la verdadera carga de colapso, y el Teorema Cinemático o TLS aproxima superiormente a la verdadera carga de colapso, un cálculo de la carga externa que cumpla
simultáneamente las condiciones de ambos teoremas, permite obtener la carga de colapso exacta.
Para el análisis plástico de placas planas , se utilizará el TLS o Teorema Cinemático.
Para aplicar este teorema, es necesario definir un Mecanismo Cinemático compatible con los vínculos, o Configuración de Rotura CR.
En el caso de una estructura lineal, de barras, los mecanismos cinemáticos se definen usualmente (no exclusivamente), a través de rótulas.
En el caso de una estructura plana como es una placa, con dos dimensiones predominantes, se tendrá líneas de rotulación, como si se tratase de bisagras.
La formación de este tipo de mecanismo tiene una confirmación experimental, como se muestra en las figuras de arriba y de las hojas siguientes.
En realidad, las zonas de plastificación se distribuyen en un cierto ancho, pero eficientemente limitado como para poder asumir que se las puede representar por “líneas de bisagra”.
A estas “bisagras” de las denomina LÍNEAS DE ROTURA y se abrevia “LR” Cuando el momento flector que actúan en la LR es positivo, y por lo tanto tracciona la cara inferior de la placa, se dice que es una Línea de Rotura Positiva o LR+. Por oposición, cuando el momento que actúa es negativo, tracciona la cara superior de la placa, y se tiene una LR-.
Para definir el mecanismo que permite aplicar el TLS, se plantean las condiciones indicadas arriba.
Se considera que en TODA la extensión de cada LR actúa el momento de plastificación Mpl.
- En las LR+, el momento se denomina “ m ”
- En las LR-, el momento se denomina “ m´ ”
Salvo que se indique lo contrario, se asume que m = -m´. Es decir que se supone, para el análisis, que los momentos positivos y negativos tienen el mismo valor absoluto. No obstante, se verá en el resto del desarrollo del tema que siempre es posible abandonar esta hipótesis y considerar momentos de diferente valor absoluto.
Como se ha supuesto que el comportamiento del material es Rígido-Plástico, todas las zonas de la placa que están fuera de las LRs no sufren deformaciones, y por lo tanto de mantienen planas. Todos los giros se concentran en las LRs.
El mecanismo o CR toma, entonces, la forma de una especie de techoinvertido de caras planas y varias aguas.
La definición del mecanismo divide a la placa en Subsectores planos, delimitados por las LRs y los bordes de la placa. Cada uno de estos subsectores posee un EJE, en torno al cual gira como cuerpo rígido.
Para que el mecanismo sea cinemáticamente posible, es condición necesaria que el Eje de un subsector pase por alguno de los apoyos de la placa.
El contacto entre dos Subsectores se produce siempre a través de una LR. Esta LR debe pasar indefectiblemente por la intersección de los dos ejes de los Subsectores en consideración. Si los dos ejes son paralelos, entonces la LR será paralela a ambos.
Para una misma placa, existen infinitos mecanismos posibles, siempre que cumplan con las condiciones estipuladas.
En las figuras se muestran algunos ejemplos de cumplimiento y no cumplimiento de las condiciones necesarias para definir el mecanismo.
En la figura superior la placa tiene 4 bordes, y el mecanismo propuesto define 4 Subsectores. Como los 4 apoyos son lineales, no queda más alternativa que cada uno de ellos sea el eje de rotación de un subsector, lo cual simplifica la definición del mecanismo.
El eje del Subsector “A” es la recta 14, del “B” la recta 1-2, y así siguiendo.
Las LRs 1-5 y 4-5 son posibles, porque pasan por la intersección de los ejes de los subsectores que dividen.
La LR 5-6 no cumple la condición, porque divide a los subsectores B y C, cuyos ejes (1-2 y 4-3) son paralelos, y por lo la LR 5-6 debería ser a su vez paralela a ambos.
Las LRs 6-2 y 6-2 cumplen la condición al pasar por los puntos 2 y 3, pero el punto 6 es incorrecto, por lo que en ese sentido tampoco son válidas.
Es fácil ver que si se considera que los Subsectores B y C giran un mismo valor angular en torno a sus propios ejes (de signo contrario), el descenso del punto 5 resulta el mismo calculado desde cualquiera de ambos subsectores, pero el descenso del punto 6 resulta mayor si se lo calcula por el subsector C que por el B
La figura inferior muestra un ejemplo similar.
Cuando alguna de las condiciones de apoyo es puntual, es decir, apoyo directo en una columna, entonces es condición necesaria que un eje de rotación pase por ese punto, pero como por un punto pasan infinitas rectas, entonces la ubicación de ese eje puede ser cualquiera de esas rectas . Esto agrega elementos al conjunto de mecanismos cinemáticos
posibles.
Los ejes de los subsectores B y C deben necesariamente coincidir con los apoyos lineales , pero el del subsector A puede ser cualquier recta que pase por la columna. El mecanismo de la figura es uno de los tantos posibles mientras que este es otro de los que resultan posibles.
Es importante señalar, además, que la cantidad de apoyos existentes es una indicación de los subsectores en que se puede dividir el mecanismo, pero en realidad pueden ser más o menos que los apoyos existentes.
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